Question

(本小題滿分12分)

如圖，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為a的   

菱形，且，側棱AA₁長等于3a，O為底面ABCD對

角線的交點.

（1）求證：OA₁∥平面B₁CD₁；

（2）求異面直線AC與A₁B所成的角；

（3）在棱上取一點F，問AF為何值時，C₁F⊥平面BDF？

Answer 1

（2）

解析:

（方法一）(1) 連A₁C₁，設其與B₁D_­1交于點O₁. ∵A₁O₁OC,  ∴四邊形A₁O₁OC為平行四邊形，    ∴OA₁//O₁C, 平面B₁CD₁, 平面B₁CD₁，  ∴OA₁∥平面B₁CD₁.

    (2) ∵A₁C₁//AC，∴就是異面直線AC與A₁B所成的角或其補角.

       由題意得 

根據余弦定理得     

故異面直線AC與A₁B所成的角為 

(3) ∵ABCD是菱形，∴ 又  ∴平面.

∵平面，∴ 

故C₁F⊥平面BOF   ∴.

設，則 ∴ 即

解得故當AF時，C₁F⊥平面BOF.

（方法二） 以O為原點，OC、OD所在直線分別為

x軸、y軸，則O(0, 0, 0), ，，

，，

.

    (1)

   

    ∴ 平面，平面，

    ∴OA₁∥平面B₁CD₁.

（2），，

于是

故異面直線AC與A₁B所成的角為 

(3) 設為上任意一點，則.

∵，于是C₁F⊥平面BOF

解得. 即時，C₁F⊥平面BOF.