Question

如圖，設F是橢圓：C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點，直線l為其左準線，直線l與x軸交于點P，線段MN為橢圓的長軸，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點P的直線與橢圓相交于不同兩點A，B，求證：∠AFM=∠BFN；
（3）（理）求三角形ABF面積的最大值．

Answer 1

（1）∵線段MN為橢圓的長軸，且|MN|=8，∴a=4
∵|PM|=2|MF|，
∴

a2

c

-a=2（a-c）
∴a²-ac=2ac-2c²，
∴2e²-3e+1=0，
解得e=

1

2

或e=1（舍去）
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）當AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFM=0，滿足題意．
當AB方程為x=my-8，代入橢圓方程整理得
（3m²+4）y²-48my+144=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=

48m

3m2+4

，y1y2=

144

3m2+4

，
∴K_AF+K_BF=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=

y1

m1-6

+

y2

my2-6

=

2my1y2-6(y1+y2)

(my1-6)(m y  2 -6)

=

288m 3m2+4 - 288m 3m2+4

(my1-6)(my2-6)

=0
∴K_AF+K_BF=0，從而∠AFM=∠BFN  綜上可知，恒有∠AFM=∠BFN．
（3）（理）∵P（-8，0），F（-2，0），∴|PF|=6，
∴|y₂-y₁|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 48m 3m2+4 )2 -4• 144 3m2+4

=

24 m 2-4

3m2+4

，
∴S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF
=

1

2

|PF|•|y2|-

1

2

|PF|•|y1|
=

1

2

|PF|•|y2-y1|
=

72 m2-4

3m2+4

=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

當且僅當3

m2-4

=

16

m2-4

即m²=

28

3

（此時適合△＞0的條件）時取等號
∴三角形ABF面積的最大值是3

3

．