Question

已知函數f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N^*）滿足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）設g（x）=f（x+b），是否存在實數b使g（x）為偶函數；若存在，求出b的值；若不存在，說明理由；
（3）設h（x）=f（x）-x²+m，若函數y=log_mh（x）在區間[-2，4]上單調遞增，求實數m的取值范圍；
（4）設函數h（x）=log₂[n-f（x）]，討論此函數在定義域范圍內的零點個數．

Answer 1

分析：（1）根據條件建立方程關系，即可求a、c的值；
（2）求出g（x）的表達式，利用函數的奇偶性進行判斷即可；
（3）求出h（x）=f（x）-x²+m的表達式，利用函數y=log_mh（x）在區間[-2，4]上單調遞增，即可求實數m的取值范圍；
（4）根據函數零點的定義，結合二次函數的圖象和性質即可得到結論．

解答：解：（1）∵f（1）=5=a+2+c，
∴c=3-a  ①
又∵6＜f（2）＜11，
∴6＜4a+4+c＜11，②
將①式代入②式，得-

1

3

＜a＜

4

3

，
又∵a、c∈N^*，
∴a=1，c=2．     
（2）由（1）得f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∴g（x）=f（x+b）=（x+b+1）²+1，
假設存在實數b使g（x）為偶函數，
則有g（-x）=g（x），
即（-x+b+1）²+1=（x+b+1）²+1，可得b=-1．
故存在實數b=-1使g（x）為偶函數．
（3）依題意有h（x）=2x+2+m，
∴h（x）在區間[-2，4]上單調遞增，
若函數y=log_mh（x）在區間[-2，4]上單調遞增，則m＞1且h（x）＞0在區間[-2，4]上恒成立，
∴

m＞1 h(x)min＞0

，
即

m＞1 -4+2+m＞0

，
解得m＞2；
故實數m的取值范圍是（2，+∞）．
（4）方法1∵函數h（x）=log₂[n-f（x）]，
∴n-f（x）＞0有解，即n＞f（x）_min
又∵f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∴f（x）的最小值為1，
∴n＞1；
又log₂[n-f（x）]=0?n-f（x）=1，
即x²+2x+3-n=0，（*）
∵△=4-4（3-n）=4n-8，
∴當n＞2時，方程（*）有2個不同的實數根；
當n=2時，方程（*）有1個實數根；
當n＜2時，方程（*）沒有實數根．
綜上，當n＞2時，函數h（x）在定義域范圍內有2個零點；
當n=2時，函數h（x）在定義域范圍內有1個零點；
當1＜n＜2時，函數h（x）在定義域范圍內沒有零點．
方法2∵函數h（x）=log₂[n-f（x）]，
∴n-f（x）＞0有解，n＞f（x）_min
又∵f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∴f（x）的最小值為1，
∴n＞1；
又log₂[n-f（x）]=0?n-f（x）=1，
即n=f（x）+1=x²+2x+3=（x+1）²+2
∴當n＞2時，直線y=n與拋物線y=（x+1）²有2個不同的交點；
當n=2時，直線y=n與拋物線y=（x+1）²有1個交點；
當n＜2時，直線y=n與拋物線y=（x+1）²沒有交點．
綜上，當n＞2時，函數h（x）在定義域范圍內有2個零點；
當n=2時，函數h（x）在定義域范圍內有1個零點；
當1＜n＜2時，函數h（x）在定義域范圍內沒有零點．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用，以及函數零點的判斷和應用，綜合性較強，運算量較大．