Question

已知拋物線y²=8x的準線與雙曲線相交于A，B兩點，點F是拋物線的焦點，若雙曲線的一條漸近線方程是，且△FAB是直角三角形，則雙曲線的標準方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據拋物線方程求得準線方程，代入雙曲線方程求得y，根據漸近線方程求出a與b的關系，根據雙曲線的對稱性可知△FAB為等腰直角三角形，進而可求得A或B的縱坐標為4，進而求得a和b，則雙曲線的標準方程可得．
解答：解：依題意知拋物線的準線x=-2．代入雙曲線方程得
y=±．雙曲線的一條漸近線方程是，
∴則不妨設A（-2，），F（2，0）
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴=4，解得：a=，b=4
∴c²=a²+b²=2+16=20，
∴雙曲線的標準方程是
故選C
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，解題的關鍵是通過雙曲線的對稱性質判斷出△FAB為等腰直角三角形，屬于基礎題．