Question

已知圓的方程是：x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0，其中a≠1，且a∈R．
（Ⅰ）求證：a取不為1的實(shí)數(shù)時(shí)，上述圓恒過(guò)定點(diǎn)；
（Ⅱ）求恒與圓相切的直線(xiàn)的方程．

Answer 1

（Ⅰ）將方程x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0
整理得：x²+y²-4y+2+a（2x-2y）=0．
令

x2+y2-4y+2=0 x-y=0

解之得

x=1 y=1

，
∴定點(diǎn)為（1，1）．
（Ⅱ）圓的圓心坐標(biāo)為（a，2-a），半徑為：

2

|a-1|
顯然，滿(mǎn)足題意切線(xiàn)一定存在斜率，
∴可設(shè)所求切線(xiàn)方程為：y=kx+b，即kx-y+b=0，
則圓心到直線(xiàn)的距離應(yīng)等于圓的半徑，即

|ka+(a-2)+b|

1+k2

=

2

|a-1|恒成立，
即2（1+k²）a²-4（1+k²）a+2（1+k²）=（1+k）²a²+2（b-2）（k+1）a+（b-2）²恒成立，
比較系數(shù)得

2(1+k2)=(1+k)2 -4(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2

，
解之得k=1，b=0，所以所求的直線(xiàn)方程為y=x．