Question

(理)如圖,A(m,m)、B(n,n)兩點分別在射線OS、OT上移動,且=-,O為坐標原點,動點P滿足.

(1)求m·n的值;

(2)求點P的軌跡C的方程,并說明它表示怎樣的曲線;

(3)若直線l過點E(2,0)交(2)中曲線C于M、N兩點(M、N、E三點互不相同),且,求l的方程.

(文)已知等比數列{a_n},S_n是其前n項的和,且a₁+a₃=5,S₄=15.

(1)求數列{a_n}的通項公式;

(2)設b_n=+log₂a_n,求數列{b_n}的前n項和T_n;

(3)比較(2)中T_n與n³+2(n=1,2,3,…)的大小,并說明理由.

Answer 1

答案：(理)解：(1)由已知,得=(m,m)·(n,n)=-2mn=-.

∴m·n=.

(2)設P點坐標為(x,y)(x＞0),由,得

(x,y)=(m,m)+(n,n)=(m+n,(m-n)).

∴消去m,n,可得x²=4mn,又因mn=,

∴P點的軌跡方程為x²=1(x＞0).

它表示以坐標原點為中心,焦點在x軸上,且實軸長為2,焦距為4的雙曲線x²=1的右支.

(3)設直線l的方程為x=ty+2,將其代入C的方程,得3(ty+2)²-y²=3,即(3t²-1)y²+12ty+9=0.

易知(3t²-1)≠0(否則,直線l的斜率為±3,它與漸近線平行,不符合題意).

又Δ=144t²-36(3t²-1)=36(t²+1)＞0,設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),則y₁+y₂=,y₁y₂=.

∵l與C的兩個交點M、N在y軸右側,x₁x₂=(ty₁+2)(ty₂+2)=t²y₁y₂+2t(y₁+y₂)+4

=t²·+2t·+4=.∴3t²-1＜0.又∵t=0不合題意,∴0＜t²＜.

又由x₁+x₂＞0,同理,可得0＜t²＜.

由,得(2-x₁,-y₁)=3(x₂-2,y₂),∴

由y₁+y₂=-3y₂+y₂=-2y₂=,得y₂=.由y₁y₂=(-3y₂)y₂=-3y₂²=,

得y₂²=.消去y₂,得=.解之,得t²=,滿足0＜t²＜,

故所求直線l存在,其方程為x-y-2=0或x+y-2=0.

(文)解：(1)設數列{a_n}的公比為q,則

方法一:a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁(1+q²)=5,S₄-(a₁+a₃)=a₂+a₄=a₁q(1+q²)=10,

∴q=2,a₁=1,則a_n=2^n-1.

方法二:易知q≠1,則a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁(1+q²)=5,

S₄==a₁(1+q)(1+q²)=15,則1+q=3.

(以下同方法一)

(2)由(1)可得,b_n=+log₂2^n-1=+(n-1)=n+,

所以數列{b_n}是一個以為首項,1為公差的等差數列.

∴T_n=

=.

(3)∵(n³+2)-T_n=(n³-n²-4n+4)=(n-1)(n-2)(n+2),

∴當n=1、2時,(n-1)(n-2)(n+2)=0,即T_n=n³+2.

當n≥3時,(n-1)(n-2)(n+2)＞0,即T_n＜n³+2.

綜上可知,n=1、2時,T_n=n³+2;n≥3時,T_n＜n³+2.