Question

 

（Ⅰ）已知函數，。

（i）求函數的單調區間；

（ii）證明：若對于任意非零實數，曲線C與其在點處的切線交于另一點

，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段

（Ⅱ）對于一般的三次函數（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明。

 

 

Answer 1

【答案】

 

【命題意圖】本小題主要考查函數、導數、定積分等基礎知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想。

【解析】（Ⅰ）（i）由得=，

當和時，；

當時，，

因此，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為。

（ii）曲線C與其在點處的切線方程為

得，

即，解得，進而有

，用代替，重復上述計算過程，可得

和，又，所以

因此有。

（Ⅱ）記函數的圖象為曲線，類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題為：若對任意不等式的實數，曲線與其在點處的切線交于另一點

，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段

證明如下：

因為平移變換不改變面積的大小，故可將曲線的對稱中心平移至坐標原點，因而不妨設，類似（i）（ii）的計算可得

，故。