Question

(本題滿分12分）
設函數（，為常數），且方程有兩個實根為.
（1）求的解析式；
（2）證明：曲線的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心.

Answer 1

（Ⅰ）．（II）證明：見解析。

本題考查用待定系數法求函數解析式，函數圖象的平移．
（1） 把方程的2個實數根分別代入方程得到方程組，解此方程組求出待定系數，進而得到函數的解析式．
（2）利用2個奇函數的和仍是奇函數，再利用圖象平移找出所求函數的對稱中心。
解：（Ⅰ）由解得
故．
（II）證明：已知函數，都是奇函數．
所以函數也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形．
而．
可知，函數的圖像沿軸方向向右平移1個單位，再沿軸方向向上平移1個單位,即得到函數的圖像，故函數的圖像是以點為中心的中心對稱圖形．