Question

已知，命題p：函數f(x)=log

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2

(x2-2ax+3)在（-∞，1]內為增函數，命題q：A={x|x²+（a+2）x+1=0}∩{x|x＞0}=?，若p∨q為真，p∧q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意，可先解出兩個命題為真時參數a的取值范圍，再由p∨q為真，p∧q為假得出p真q假或p假q真，分別解出它們的相應的參數的取值范圍，取兩者的并集即可得到實數a的取值范圍

解答：解：命題p：函數f(x)=log

1

2

(x2-2ax+3)在（-∞，1]內為增函數
即t=x²-2ax+3在（-∞，1]內為減函數，且t（1）＞0
即

a≥1 4-2a＞0

，解得1≤a＜2
即命題p：1≤a＜2
因為命題q：A={x|x²+（a+2）x+1=0}∩{x|x＞0}=?，所以x²+（a+2）x+1=0無解或有兩個負根
若無根，可得△＜0，解得-4＜a＜1
若有兩負根，則有

a+2＞0 △≥0

，解得a≥0
故有命題q：a＞-4
又p∨q為真，p∧q為假，可得p真q假或p假q真
若p真q假，可得符合條件的a不存在；
若p假q真，可得-4＜a＜1或a≥2
綜上，a∈（-4，1）∪[2，+∞）

點評：本題考查復合命題的真假判斷及函數的性質，解題的關鍵是正確解出兩個命題為真時相應的參數的取值范圍及理解復合命題真假的判斷規則并能依據規則將問題正確轉化