Question

（遼寧卷文理）（本小題滿分12分）

已知，橢圓C以過點A（1，），兩個焦點為（－1，0）（1，0）。

（1）   求橢圓C的方程；

（2）   E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。           

Answer 1

，

解析:

（Ⅰ）解 由題意，c＝1,可設橢圓方程為。           

因為A在橢圓上，所以，解得＝3，＝（舍去）。

所以橢圓方程為  ．    　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅱ）證明  設直線ＡＥ方程：得，代入得           

設Ｅ（，），Ｆ（，）．因為點Ａ（1，）在橢圓上，

所以，           

。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數，在上式中以代，可得

，           

。

所以直線EF的斜率。

即直線EF的斜率為定值，其值為。