Question

已知：橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的上頂點為A，左右焦點為F₁，F₂，直線AF₂與圓M：（x-3）²+（y-1）²=3相切
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的下頂點為B，直線y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M，N，當|BM|=|BN|時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定直線AF₂的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出c的值，即可求出對應的橢圓的方程；
（2）設P為弦MN中點，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0，利用|BM|=|BN|，可得BP⊥MN，由此可得k，m的關系，結合直線與橢圓有兩個交點，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）圓（x-3）²+（y-1）²=3，圓心M（3，1），半徑r=

3

∵A（0，1），F₂（c，0），∴直線AF₂：

x

c

+y=1，即x+cy-c=0…（2分）
∵直線AF₂與圓M相切，∴

|3+c-c|

c2+1

=

3

，解得c=

2

∴a²=c²+1=3
∴橢圓C的方程為：

x2

3

+y2=1…（5分）
（2）橢圓C的下頂點為B（0，-1）
設P為弦MN中點，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0
∵直線與橢圓有兩個交點，∴△＞0即m²＜3k²+1…①…（7分）
xP=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，yP=kxP+m=

m

3k2+1

∴kBP=

yP+1

xP

=-

m+3k2+1

3mk

∵|BM|=|BN|，∴BP⊥MN，∴-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即：2m=3k²+1…②…（10分）
由②得k2=

2m-1

3

…③
③代入①得2m＞m²
∴0＜m＜2又k²＞0，∴m＞

1

2

故m的取值范圍為

1

2

＜m＜2…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．