Question

（第一、二層次學校的學生做）
對于函數f（x）=ax²+bx+1（a＞0），如果方程f（x）=x有相異兩根x₁，x₂．
（1）若x₁＜1＜x₂，且f（x）的圖象關于直線x=m對稱．求證：m；
（2）若0＜x₁＜2且|x₁-x₂|=2，求證：4a+2b＜1；
（3）α、β為區間[x₁，x₂]上的兩個不同的點，求證：2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，x₁、x₂是方程g（x）=f（x）-x=0的兩個實數根，由x₁＜1＜x₂可得g（1）＜0，證出x₁x₂＜x₁+x₂-1．由此結合x=m滿足m=（--），將其化簡成關于x₁、x₂的式子即可證出m；
（2）由方程g（x）=0，結合根與系數的關系算出x₁x₂=-＞0，故x₁、x₂同號．結合題意0＜x₁＜2且|x₁-x₂|=2，證出x₂=x₁+2＞2，從而得到2∈（x₁，x₂），由g（2）＜0，即可證出4a+2b＜1；
（3）由前面結論得x₁+x₂=，x₁x₂=．設α＜β，將2（α-x₁）（β-x₂）展開化簡，進行配湊得2（α-x₁）（β-x₂）＞2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂，結合2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂=，可得＜0，結合a＞0即可得到原不等式成立．
解答：解：（1）設g（x）=ax²+（b-1）x+1，且a＞0
∵x₁＜1＜x₂，∴（x₁-1）（x₂-1）＜0，即x₁x₂＜x₁+x₂-1，
于是x=m即x=-，也就是x=（--）
∴m=（--）=（x₁+x₂）-x₁x₂＞（x₁+x₂）-[（x₁+x₂）-1]=
即不等式m成立；
（2）由方程g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，可得x₁x₂=-＞0，故x₁、x₂同號
由0＜x₁＜2且|x₁-x₂|=2，得x₂-x₁=2
∴x₂=x₁+2＞2，
由此可得2∈（x₁，x₂），得g（2）＜0，
所以4a+2b-1＜0，可得4a+2b＜1；
（3）由前面的結論，得x₁+x₂=，x₁x₂=
α、β為區間[x₁，x₂]上的兩個不同的點，不妨設α＜β
0＞2（α-x₁）（β-x₂）
∵2（α-x₁）（β-x₂）=2αβ-2（βx₁+αx₂）+2x₁x₂
=2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂+（x₁-x₂）（α-β）＞2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂
且2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂=
∴0＞，
結合a＞0，可得2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0．
點評：本題給出二次函數滿足的條件，求證不等式恒成立并討論函數零點的分布．著重考查了一元二次方程根與系數的關系、函數的零點和不等式的等價變形等知識，考查了邏輯思維能力與推理論證能力，考查了轉化化歸與數形結合的數學思想，屬于難題．