Question

如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABO的重心．
（1）求

GA

+

GB

+

GO

；
（2）若PQ過(guò)△ABO的重心G，且

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OP

=m

a

，

OQ

=n

b

，求證：

1

m

+

1

n

=3．

Answer 1

分析：（1）利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合點(diǎn)G是△ABO的重心，即可得到結(jié)論；
（2）由于P，G，Q三點(diǎn)共線，利用向量共線定理，可得存在實(shí)數(shù)λ使得

PG

=λ

GQ

，利用平面向量基本定理，可得方程組，消去λ，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴

GM

=

1

2

（

GA

+

GB

）．
又G為△ABO的重心，∴

GM

=

1

2

OG

，
∴

GA

+

GB

+

GO

=2

GM

-2

GM

=

0

．
（2）證明：由

OM

=

1

2

（a+b）得，

OG

=

2

3

OM

=

1

3

（a+b）．
由于P，G，Q三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ使得

PG

=λ

GQ

．
而

PG

=

OG

-

OP

=（

1

3

-m）a+

1

3

b，

GQ

=

OQ

-

OG

=-

1

3

a+（n-

1

3

）b，
則（

1

3

-m）a+

1

3

b=λ[-

1

3

a+（n-

1

3

）b]，
∴

1 3 -m=- 1 3 λ 1 3 =λ(n- 1 3 )

，消去λ整理得

1

m

+

1

n

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查向量共線定理、考查平面向量基本定理，屬于中檔題．