Question

（04年全國卷Ⅱ）(12分)

給定拋物線C：y²＝4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點．

(Ⅰ)設l的斜率為1，求與夾角的大�。�

(Ⅱ)設＝，若∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍．

Answer 1

解析：（I）C的焦點為F(1,0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為y=x-1.

將y=x-1代入方程y²=4x，并整理得x²-6x+1=0.

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，則有x₁+x₂=6,x₁x₂=1，

=(x₁,y₁)?(x₂,y₂)=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-(x₁+x₂)+1=-3.

cos<>=

所以與夾角的大小為-arccos.

(II)由題設知得：(x₂-1,y₂)=λ(1-x₁,-y₁)，即

由 (2)得y₂²=λ²y₁², ∵y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,∴x₂=λ²x₁…………………………(3)

聯立(1)(3)解得x₂=λ.依題意有λ>0.

∴B(λ,2)或B(λ,-2)，又F(1,0),

得直線l的方程為(λ-1)y=2(x-1)或(λ-1)y=-2(x-1)

當λ∈[4,9]時，l在y軸上的截距為或-

由=，可知在[4，9]上是遞減的，

∴，--

直線l在y軸上截距的變化范圍是