Question

【題目】如圖甲所示，一根輕質彈簧上端固定在天花板上，下端掛一小球（可視為質點），彈簧處于原長時小球位于點．將小球從點由靜止釋放，小球沿豎直方向在之間做往復運動，如圖乙所示．小球運動過程中彈簧始終處于彈性限度內．不計空氣阻力，重力加速度為．

（1）證明小球的振動是簡諧振動；

（2）已知彈簧勁度系數為．以點為坐標原點，豎直向下為軸正方向，建立一維坐標系，如圖乙所示．

a．請在圖丙中畫出小球從運動到的過程中，彈簧彈力的大小隨相對于點的位移變化的圖象．根據圖象求：小球從運動到任意位置的過程中彈力所做的功，以及小球在此位置時彈簧的彈性勢能；

b．己知小球質量為，小球在運動的過程中，小球、彈簧和地球組成的物體系統機械能守恒．求小球經過中點時瞬時速度的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） ；

【解析】（1）證明：開始時彈簧形變量，規定向下為正方向，依據平衡關系， 之后， ，以為平衡點，即原點， 故，故做簡諧運動．

（2）a． 圖像如下圖所示，圖中的圖線和軸圍成的面積表示功的大小，所以彈力做功為．

由彈力做功與彈性勢能的關系，解得，

b．小球由點到中點，根據動能定理，小球由點到點，根據機械能守恒定律．

解得： ．