Question

【題目】如圖所示，兩根間距為L的金屬導軌MN和PQ，電阻不計，左端彎曲部分光滑，水平部分導軌與導體棒間的滑動摩擦因數為μ，水平導軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強磁場Ⅰ，右端有另一磁場Ⅱ，其寬度也為d，但方向豎直向下，兩磁場的磁感強度大小均為B0，相隔的距離也為d．有兩根質量為m、電阻均為R的金屬棒a和b與導軌垂直放置，b棒置于磁場Ⅱ中點C、D處．現將a棒從彎曲導軌上某一高處由靜止釋放并沿導軌運動下去．

（1）當a棒在磁場Ⅰ中運動時，若要使b棒在導軌上保持靜止，則a棒剛釋放時的高度應小于某一值h0，求h0的大小；

（2）若將a棒從彎曲導軌上高度為h（h＜h0）處由靜止釋放，a棒恰好能運動到磁場Ⅱ的左邊界處停止，求a棒克服安培力所做的功；

（3）若將a棒仍從彎曲導軌上高度為h（h＜h0）處由靜止釋放，為使a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應電流，可讓磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間而變化，將a棒剛進入磁場Ⅰ的時刻記為t=0，此時磁場Ⅱ的磁感應強度為B0，試求出在a棒通過磁場Ⅰ的這段時間里，磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間變化的關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）mgh-μmg2d；（3）

【解析】試題分析：根據b棒受力平衡求出電流的大小，通過閉合電路歐姆定律求出感應電動勢的大小，從而求出a棒的速度，根據機械能守恒定律求出a棒下降的高度；在運動的過程中，b棒不動，根據能量守恒定律求出整個過程克服安培力所做的功；棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應電流，說明感應電動勢為零，即整個回路中的磁通量不變．a棒進入磁場做勻減速直線運動，b棒靜止，根據磁通量不變求出磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間變化的關系式。

（1）因為a棒進入磁場Ⅰ后做減速運動，所以只要剛進入時b棒不動，b就可以靜止不動．對a棒：由機械能守恒：

對回路：ε=BLv0，電流為：

對b棒：BIL=μmg

聯立解得：

（2）由全過程能量守恒與轉化規律：mgh=μmg2d+W克A

解得：W克A=mgh-μmg2d

（3）a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應電流，說明感應電動勢為零，根據法拉第電磁感應定律，在△t≠0的前提下，△Φ=0即Φ保持不變

對a棒：由機械能守恒：

a棒進入磁場Ⅰ后，由牛頓第二定律得：a=μg

經過時間t，a棒進入磁場Ⅰ的距離為

磁通量

又最初磁通量為

聯立解得：