Question

【題目】 “大自然每個領域都是美妙絕倫的。”隨著現代科技發展，人類不斷實現著“上天入地”的夢想，但是“上天容易入地難”，人類對腳下的地球還有許多未解之謎。地球可看作是半徑為R的球體。

（1）以下在計算萬有引力時，地球可看作是質量集中在地心的質點。

a．已知地球兩極的重力加速度為g1，赤道的重力加速度為g2，求地球自轉的角速度ω；

b．某次地震后，一位物理學家通過數據分析，發現地球的半徑和質量以及兩極的重力加速度g1都沒變，但赤道的重力加速度由g2略微減小為g3，于是他建議應該略微調整地球同步衛星的軌道半徑。請你求出同步衛星調整后的軌道半徑與原來的軌道半徑r之比。

（2）圖1是地球內部地震波隨深度的分布以及由此推斷出的地球內部的結構圖。在古登堡面附近，橫波（S）消失且縱波（P）的速度與地表處的差不多，于是有人認為在古登堡面附近存在著很薄的氣態圈層，為了探究氣態圈層的壓強，兩位同學提出了以下方案。

甲同學的方案：如圖2所示，由于地球的半徑非常大，設想在氣態圈層的外側取一底面積很小的柱體，該柱體與氣態圈層的外表面垂直。根據資料可知古登堡面的半徑為R1，氣態圈層之外地幔及地殼的平均密度為，平均重力加速度為g，地球表面的大氣壓強相對于該氣態圈層的壓強可忽略不計。

乙同學的方案：設想在該氣態圈層內放置一個正方體，并且假定每個氣體分子的質量為m，單位體積內的分子數為n，分子大小可以忽略，其速率均相等，且與正方體各面碰撞的機會均等，與各面碰撞前后瞬間，分子的速度方向都與各面垂直，且速率不變。根據古登堡面附近的溫度可推知氣體分子運動的平均速率為v．

請你選擇其中的一種方案求出氣態圈層的壓強p．

Answer 1

【答案】（1）a．；b．；

（2）甲同學：；乙同學：。

【解析】試題分析：（1）a．設地球的質量為M，對于質量為m的物體，在兩極有：①

在赤道，根據牛頓第二定律有：②

聯立①②可得：（6分）

b．設地震后地球自轉的角速度為，根據牛頓第二定律有：③

設同步衛星的質量為，根據牛頓第二定律，

地震前有：④ 地震后有：⑤

聯立①②③④⑤可得：（7分）

（2）甲同學的方案：

設該柱體的底面積為S，則柱體的總重力為：⑥

該柱體靜止，支持力與重力的合力為零。即：⑦

由牛頓第三定律可知，柱體對氣態圈層的壓力⑧

氣態圈層中的氣體壓強為⑨

聯立⑥⑦⑧⑨式可得：（7分）

乙同學的方案：

設正方體邊長為a，時間內與一個面發生碰撞的氣體分子數為N，則：

⑩

設該面與氣體分子間的壓力大小為F，由動量定理得：

則氣體的壓強為：

聯立⑩ 式可得：（7分）

說明：用其他方法解答正確，給相應分數。