Question

【題目】如圖所示，半徑為R的 圓弧軌道固定在豎直平面內，O為圓軌道的圓心，D為圓軌道的最高點，圓軌道內壁光滑，圓軌道右側的水平面BC與圓心O等高。質量為m的小球從離B點高度為h的A點處由靜止開始下落，從B點進入圓軌道，小球能通過圓軌道的最高點，并且在最高點對軌道的壓力大小不超過3mg。現由物理知識推知，小球下落高度h與圓軌道半徑R及小球經過D點時的速度之間的關系為 。 (g為重力加速度，不計空氣阻力)

(1)求高度h應滿足的條件；

(2)通過計算說明小球從D點飛出后能否落在水平面BC上，若不能說明理由：若能，求落點與B點水平距離的范圍。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）理解過D點的臨界情況，當壓力恰好為零時，速度最小。

（2）根據D點的最小速度求平拋的最小位移，抓住最高點的最大壓力，根據牛頓第二定律求出D點的最大速度，根據平拋規律求最大的水平位移，從而求出落點與B點的水平距離的范圍。

(1)設小球經過D點時的最小速度為v1，由圓周運動知識可得

解得：

將代入，可得

設小球經過D點時的最大速度為v2，則有

解得：

將代入，可得

所以

(2)小球從D點平拋的最小位移，所以能落在水平面BC上，落點與B點間的水平距離最小為。

小球從D點平拋的最大位移

故落點與B點間的水平距離最大為

綜上所述，落點與B點水平距離的范圍為