Question

【題目】如圖所示，在水平軌道右側安放一半徑為R的豎直圓形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設特殊材料，調節其初始長度為L，水平軌道左側有一輕質彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長狀態。小物塊A(可視為質點)從軌道右側以初速度v0沖上軌道，通過圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經水平軌道返回圓形軌道。已知R＝0.2 m，L＝1 m，v0＝2 m/s，物塊A質量為m＝1 kg，與PQ段間的動摩擦因數μ＝0.2，軌道其他部分摩擦不計，取g＝10 m/s2。

(1)求物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小；

(2)求物塊A被彈簧以原速率彈回后返回到圓形軌道的高度；

(3)調節PQ段的長度L，A仍以v0從軌道右側沖上軌道，當L滿足什么條件時，物塊A被彈簧彈回后能返回圓形軌道且能沿軌道運動而不脫離軌道？

Answer 1

【答案】(1)2 m/s (2)0.2 m (3)1 m≤L＜1.5 m或L≤0.25 m

【解析】(1)設物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小為v1，由動能定理可得

－μmgL＝mv－mv

解得v1＝2 m/s。

(2)設物塊A被彈簧以原速率彈回后返回到圓形軌道的高度為h1，由動能定理可得

－μmgL－mgh1＝0－mv

解得h1＝0.2 m＝R，符合實際情況。

(3)①若A沿軌道上滑至最大高度h2時，速度減為0，則使A不脫離軌道時h2需滿足的條件是0<h2≤R

由動能定理可得

－2μmgL1－mgh2＝0－mv

聯立可得1 m≤L1<1.5 m

②若A能沿軌道上滑至最高點，則需滿足m≥mg

由動能定理可得

－2μmgL2－mg·2R＝mv－mv

聯立可得L2≤0.25 m

綜上所述，要使物塊A被彈簧彈回后能返回圓形軌道并沿軌道運動而不脫離軌道，L需滿足的條件是1 m≤L<1.5 m或L≤0.25 m。