題目列表(包括答案和解析)
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已知函數f(x)＝ln(x＋1)＋mx，當x＝0時，函數f(x)取得極大值．
(Ⅰ)求實數m的值；
(Ⅱ)已知結論∶若函數f(x)＝ln(x＋1)＋mx在區間(a，b)內導數都存在，且a＞－1，則存在x0∈(a，b)，使得
．試用這個結論證明∶若－1＜x1＜x2，函數
，則對任意x∈(x1，x2)，都有f(x)＞g(x)；
(Ⅲ)已知正數λ1，λ2，…λn，滿足λ1＋λ2＋…＋λn＝1，求證∶當n≥2，n∈N時，對任意大于－1，且互不相等的實數x1，x2，…，xn，都有f(λ1x1＋λ2x2＋…＋λnxn)＞λ1f(x1)＋λ2f(x2)＋…＋λnf(xn)．
A是定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數φ(x)組成的集合：
①對任意的x∈[1，2]，都有φ(2x)∈(1，2)；
②存在常數L(0＜L＜1)，使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|φ(2x1)－φ(2x2)|≤L|x1－x2|．
(Ⅰ)設φ(2x)＝
，x∈[2，4]，證明：φ(x)∈A
(Ⅱ)設φ(x)∈A，如果存在x0∈(1，2)，使得x0＝φ(2x0)，那么這樣的x0是唯一的；
(Ⅲ)設φ(x)∈A，任取x1∈(1，2)，令xn－1＝φ(2xn)，n＝1，2，…，證明：給定正整數k，對任意的正整數p，成立不等式|xk+p－xk|≤
|x2－x1|
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(x0)＝
．試用這個結論證明：若－1＜x1＜x2，函數g(x)＝
(x－x1)＋f(x1)，則對任意x∈(x1，x2)，都有f(x)＞g(x)；