Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)D的坐標(biāo)為，連接CA，CB，CD.

（1）求證：；
（2）是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接DP交BC于點(diǎn)E.
①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②連接CP，當(dāng)△CDP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

Answer 1

（1）證明見解析；（2）（4，），（6-，）；（，）．

試題分析：（1）把點(diǎn)（2，4）代入拋物線解析式計(jì)算即可求出m的值，然后求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BM⊥CD交CD的延長線于M，然后求出∠CDO=∠BDM=45°，利用勾股定理列式分別求出CD、DM、BM，再根據(jù)銳角的正切相等證明即可；
（2）①利用勾股定理列式求出BC，再分BE=DE時(shí)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解，BE=BD時(shí)，利用∠OBC的正弦和余弦求解；
②根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，交CD的延長線于點(diǎn)Q，再求出直線CD的解析式，然后寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)S△CDP=S△CPQ-S△DPQ列式整理，然后利用二次函數(shù)的最值問題求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線PD的解析式，聯(lián)立直線PD、BC的解析式，求解即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．
試題解析:（1）∵拋物線y=mx²+（m+2）x+2過點(diǎn)（2，4），
∴m•2²+2（m+2）+2=4，
解得m=-，
∴拋物線解析式為y=-x²+x+2，
令y=0，則-x²+x+2=0，
整理得，x²-5x-6=0，
解得x₁=-1，x₂=6，
令x=0，則y=2，
∴A（-1，0），B（6，0），C（0，2），
過點(diǎn)B作BM⊥CD交CD的延長線于M，
在Rt△DOC中，∵OC=OD=2，
∴∠CDO=∠BDM=45°，CD=2，
在Rt△BMD中，∵BD=6-2=4，
∴DM=BM=4×，
在Rt△CMD中，tan∠BCM=，
又∵tan∠ACO=，
∴∠ACO=∠BCD；
（2）①由勾股定理得，BC=，
BE=DE時(shí)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為6-×（6-2）=4，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是×（6-2）×=，
所以，點(diǎn)E₁（4，）；
BE=BD時(shí)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為6-（6-2）×=6-，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為（6-2）×=，
所以，點(diǎn)E₂（6-，），
綜上所述，點(diǎn)E₁（4，）；或E₂（6-，）時(shí)，△BDE是等腰三角形；
②設(shè)P（x，-x²+x+2），
過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，交CD的延長線于點(diǎn)Q，
則直線CD的解析式為y=-x+2，

∴點(diǎn)Q（x，-x+2），
S_△CDP=S_△CPQ-S_△DPQ，=PQ•OF-PQ•DF=PQ•OD，
∵OD=2，
∴S_△CDP=PQ=-x²+x+2-（-x+2）=-x²+x（0＜x＜6），
∵S=-x²+x=-（x-4）²+，
∴當(dāng)x=4時(shí)，△CDP的面積最大，
此時(shí)，-x²+x+2=-×4²+×4+2=，
∴點(diǎn)P（4，），
設(shè)直線PD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∴直線PD的解析式為y=x-，
直線BC的解析式為y=-x+2，
聯(lián)立 ，
解得 ，
所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）．
考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.