Question

設雙曲線的中心在原點，準線平行于x軸，離心率為,且點P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2，求雙曲線的方程.

Answer 1

剖析：由雙曲線中心在原點,準線平行于x軸，可設雙曲線的方程為-=1.

    由離心率為,可得a²+b²=(a)²=c².

    由點P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2，可轉化為二次函數的最大(小)值問題來討論，得到a、b應滿足的另一關系式.從而求出a²、b²,本題得解.

解：依題意，設雙曲線的方程為-=1(a＞0,b＞0).

    ∵e==,c²=a²+b²,

    ∴a²=4b².

    設M(x,y)為雙曲線上任一點，則

    |PM|²=x²+(y-5)²

    =b²(-1)+(y-5)²

    =(y-4)²+5-b²(|y|≥2b).

    ①若4≥2b,則當y=4時，

    |PM|_min²=5-b²=4,得b²=1,a²=4.

    從而所求雙曲線方程為-x²=1.

    ②若4＜2b,則當y=2b時，

    |PM|_min²=4b²-20b+25=4,

    得b=(舍去b=),b²=,a²=49.

    從而所求雙曲線方程為-=1.