Question

設雙曲線的中心在原點，準線平行于x軸，離心率為

5

2

，且點P（0，5）到此雙曲線上的點的最近距離為2，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：由雙曲線中心在原點，準線平行于x軸，可設雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1．由離心率為

5

2

，可得a²+b²=（

5

2

a）²=c²．由點P（0，5）到此雙曲線上的點的最近距離為2，可轉化為二次函數的最大（小）值問題來討論，得到a、b應滿足的另一關系式．從而求出a²、b²，本題得解．

解答：解：依題意，設雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
∵e=

c

a

=

5

2

，c²=a²+b²，∴a²=4b²．
設M（x，y）為雙曲線上任一點，則
|PM|²=x²+（y-5）²
=b²（

y2

a2

-1）+（y-5）²
=

5

4

（y-4）²+5-b²（|y|≥2b）．
①若4≥2b，則當y=4時，
|PM|_min²=5-b²=4，得b²=1，a²=4．
從而所求雙曲線方程為

y2

4

-x²=1．
②若4＜2b，則當y=2b時，
|PM|_min²=4b²-20b+25=4，
得b=

7

2

（舍去b=

3

2

），b²=

49

4

，a²=49．
從而所求雙曲線方程為

y2

49

-

4x2

49

=1．

點評：本題主要考查雙曲線的基本性質--離心率、基本關系，考查兩點間的距離公式．對于學生的運算能力也有一定的考查．