Question

設f(x)=

ax2+bx

．
（1）當a=-1，b=4時，求函數f（e^x）（e是自然對數的底數．）的定義域和值域；
（2）求滿足下列條件的實數a的值：至少有一個正實數b，使函數f（x）的定義域和值域相同．

Answer 1

分析：（1）先求出函數f(ex)=

-e2x+4ex

，結合函數解析式可得-e^2x+4e^x≥0，解不等式可求函數的定義域
利用換元法，結合二次函數的性質可求函數的值域
（2）結合函數解析式的特點，考慮對a分類討論：對①a=0，②a＞0，③a＜0三種情況分別求解函數的值域，即可進行判斷

解答：（14分）解：（1）f(ex)=

-e2x+4ex

，
由-e^2x+4e^x≥0解得0＜e^x≤4，∴x≤ln4，
所以函數f（e^x）的定義域是（-∞，ln4]．…（2分）
設e^x=t＞0，則f(ex)=

-t2+4t

，
記g（t）=-t²+4t（t＞0），∴g（t）∈[0，4]，∴f（e^x）∈[0，2]，即f（e^x）的值域是[0，2]…（4分）
（2）①若a=0，則對于每個正數b，f(x)=

bx

的定義域和值域都是[0，+∞）
故a=0滿足條件；             …（6分）
②若a＞0，則對于正數b，f(x)=

ax2+bx

的定義域為D={x|ax²+bx≥0}=(-∞，-

b

a

]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），
故D≠A，即a＞0不合條件；           …（9分）
③若a＜0，則對正數b，f(x)=

ax2+bx

的定義域D=[0，-

b

a

]
由于此時(f(x))max=f(-

b

2a

)=

b

2 -a

，故f（x）的值域為[0，

b

2 -a

]
則-

b

a

=

b

2 -a

?

a＜0 2 -a =-a

?a=-4
綜上所述：a的值為0或-4…（14分）

點評：本題主要考查了換元法求解函數的值域，二次函數性質的應用，值域的求解，體現了分類討論思想的應用