Question

如圖所示，P是拋物線C：y=

1

2

x²上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q，當(dāng)點P在拋物線C上移動時，求線段PQ的中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離．

Answer 1

分析：設(shè)出P的坐標(biāo)，過點P的切線斜率k=x₀，求出直線l的方程，設(shè)出Q、M坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式，求出m的軌跡方程，再用基本不等式求出點M到x軸的最短距離．

解答：解：設(shè)P（x₀，y₀），則y₀=

1

2

x02，
∴過點P的切線斜率k=x₀，
當(dāng)x₀=0時不合題意，∴x₀≠0．
∴直線l的斜率k_l=-

1

k

=-

1

x0

，
∴直線l的方程為y-

1

2

x02 =-

1

x0

(x-x0)．
此式與y=

1

2

x 2聯(lián)立消去y得
x²+

2

x0

x- 

1

2

x02 -2=0
設(shè)Q（x₁，y₁），M（x，y）．
∵M(jìn)是PQ的中點，
∴

x= x0+x1 2 =- 1 x0 y=- 1 x0 (- 1 x0 -x0)+ 1 2 x02 = 1 x 2 0 + x 2 0 2 +1

消去x₀，得y=x²+

1

2x2

+1（x≠0）就是所求的軌跡方程．
由x≠0知x²＞0，
∴y=x²+

1

2x2

+1≥2

x2• 1 2x2

+1=

2

+1
上式等號僅當(dāng)x²=

1

2x2

，即x=±

4	1 2

時成立，
所以點M到x軸的最短距離是

2

+1．

點評：本題考查直線的斜率，軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，是中檔題．