Question

如圖所示，P是拋物線C：y=x²上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q，當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ的中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離．

Answer 1

【答案】分析：設出P的坐標，過點P的切線斜率k=x，求出直線l的方程，設出Q、M坐標，利用中點坐標公式，求出m的軌跡方程，再用基本不等式求出點M到x軸的最短距離．
解答：解：設P（x，y），則y=，
∴過點P的切線斜率k=x，
當x=0時不合題意，∴x≠0．
∴直線l的斜率k_l=-，
∴直線l的方程為y-．
此式與y=聯立消去y得
x²+
設Q（x₁，y₁），M（x，y）．
∵M是PQ的中點，
∴
消去x，得y=x²++1（x≠0）就是所求的軌跡方程．
由x≠0知x²＞0，
∴y=x²++1≥2
上式等號僅當x²=，即x=±時成立，
所以點M到x軸的最短距離是+1．
點評：本題考查直線的斜率，軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學生分析問題解決問題的能力，是中檔題．