Question

已知函數（其中為常數）.
（I）當時，求函數的最值；
（Ⅱ）討論函數的單調性.

Answer 1

（I）當時，函數的最小值為，無最大值；（Ⅱ）當時，在區間上單調遞增；當時，在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；當時，在區間上單調遞減；在區間上單調遞增．

試題分析：（I）由已知條件，寫出當時，函數的解析式，先求函數的定義域，再求函數的導數，令和，分別求出函數的單調增區間和單調減區間，最后可求得函數的最值；（Ⅱ）先求出函數的導數：，再觀察發現，當時，恒成立，在區間上單調遞增．當時，由，得，解這個方程，討論可得函數的單調性．
試題解析：（I）的定義域為，當時，， ．                           2分
由，得，由，得，在區間上單調遞減，
在區間上單調遞增，故當時，取最小值，
無最大值.                                          4分
（Ⅱ）．                  5分
當時，恒成立，在區間上單調遞增；               6分
當時，由得，解得，．      7分
當時，，由得，
在區間上單調遞減，
在區間和上單調遞增                    9分
當時，，由得，在區間上單調遞減；在區間上單調遞增．
綜上，當時，在區間上單調遞增；當時，在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；當時，在區間上單調遞減；在區間上單調遞增．   13分