Question

（本小題滿分1６分）

已知數列滿足，

（1）求證：數列為等比數列   （2）求數列的通項公式

（3）試問：數列中是否存在不同的三項恰好成等差數列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）  ∵，∴

所以是以為首項，2為公比的等比數列．．．．５分

（2） 　　．．．．．．．．．．．１０分

（3）中不存在不同的三項恰好成等差數列.

【解析】

試題分析：(1)由，得,

根據等比數列的定義可知是等比數列.

（2）在（1）的基礎上，可求出

(3)解本小題的關鍵：假設數列中存在不同的三項恰好成等差數列，顯然是遞增數列，然后可設，則即，進而得到,

然后再根據p,q,r取正整數值，并且還要從奇偶性判斷是否存在.

（1）  ∵，∴

所以是以為首項，2為公比的等比數列．．．．５分

（2） 　　．．．．．．．．．．．１０分

（3）若數列中存在不同的三項恰好成等差數列，顯然是遞增數列，不妨設，則

即，化簡得：

……（*）．．．．．．．．．．．．．．．．１４分

由于，且，知≥1，≥2，

所以（*）式左邊為偶數，右邊為奇數， 　故數列中不存在不同的三項恰好成等差數列.．１６分

考點：等比數列的定義，與數列有關的探究性問題.

點評：等比數列的定義是判定一個數列是否是等比數列的依據，勿必理解掌握.對于探索性問題可先假設存在，然后根據條件探索存在應滿足的條件，從而最終得出結論.