Question

（2011•嘉定區三模）已知集合M是滿足下列兩個條件的函數f（x）的全體：①f（x）在定義域上是單調函數；②在f（x）的定義域內存在閉區間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為[

a

2

 ， 

b

2

]．則下列函數中，是集合M中的元素有

（3）（4）

（將所有符合條件的序號都填上）．
（1）f（x）=x²；（2）f（x）=2^x；（3）f（x）=log₂x；（4）f(x)=

1

2

tan

π

4

x，x∈（-2，2）．

Answer 1

分析：（1）函數在定義域內是偶函數，故不單調；
（2）f（x）=2^xR上是單調函數，但不存在閉區間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為[

a

2

 ， 

b

2

]，故不是屬于M；
（3）f（x）=log₂x在（0，+∞）上單調增，若屬于M，則

log2a= a 2 log2b= b 2

，即log2x=

x

2

在（0，+∞）上有兩解，從而可判斷；
（4）f(x)=

1

2

tan

π

4

x，在x∈（-2，2）是單調增函數，若屬于M，tan

π

4

x=x在（-2，2）上有兩解，而函數為奇函數，從而可判斷．

解答：解：（1）函數在定義域內是偶函數，故不單調，故（1）不是屬于M；
（2）f（x）=2^xR上是單調函數，但不存在閉區間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為[

a

2

 ， 

b

2

]，故不是屬于M；
（3）f（x）=log₂x在（0，+∞）上單調增，若屬于M，則

log2a= a 2 log2b= b 2

，即log2x=

x

2

在（0，+∞）上有兩解，利用導數可知成立，故是屬于M；
（4）f(x)=

1

2

tan

π

4

x，在x∈（-2，2）是單調增函數，若屬于M，tan

π

4

x=x在（-2，2）上有兩解，而函數為奇函數，故存在，是屬于M．
故答案為（3）（4）

點評：題是一道帶新定義的探究性的題目，在做這一類型題時，關鍵點是弄清題目中的新定義，并會用它來解題．考查集合的包含關系、函數的定義域、值域問題，同時考查數形結合思想、等價轉化思想和利用所學知識分析問題、解決問題的能力．