Question

如圖，焦距為的橢圓的兩個頂點分別為和，且與n，共線．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓有兩個不同的交點和，且原點總在以為直徑的圓的內(nèi)部，
求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1)  ;(2).

解析試題分析：（1）根據(jù)橢圓方程寫出頂點的坐標(biāo)，然后寫出的坐標(biāo),利用兩向量共線的充要條件：,得與的關(guān)系，結(jié)合,解出與,求出橢圓的方程;（2）設(shè)直線，與橢圓有兩個不同的交點和,設(shè),將直線方程代入橢圓方程，消去,得到關(guān)于的方程，由兩個不同交點，,并且得到與,原點總在以為直徑的圓的內(nèi)部，為鈍角，即,整理，代入根與系數(shù)的關(guān)系，比較得出的取值范圍.
試題解析：（1）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，，，，所以，，
因為與n，共線，所以，     2分
由，解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.        4分
（2）解：設(shè)，，，，把直線方程代入橢圓方程，
消去，得，
所以，，     8分
，即 （*）       9分
因為原點總在以為直徑的圓的內(nèi)部，
所以，即，     10分
又，
由得，     13分
依題意且滿足（*）得  
故實數(shù)的取值范圍是，.       14分
考點：1.橢圓的性質(zhì)與方程；2.向量共線的充要條件；3.直線與橢圓相交.