Question

已知函數．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若對于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=0代入，根據絕對值的意義，分別討論x＞0和x＜0時，不等式的解集情況，最后綜合討論結果，可得答案；
（2）利用零點分段法，可將函數解析式化為f（x）=，分當a≤0時，當a∈（0，2）時和當a≥2時，三種情況分別討論不等式f（x）≥1恒成立時，a的取值范圍，最后綜合討論結果，可得答案．
解答：解：（1）當a=0時，函數
不等式f（x）≥0可化為≥0
當x＞0時，不等式恒成立；
當x＜0時，不等式可化為≥0
解得x≤-2
綜上不等式的解集為（-∞，-2]∪（0，+∞）．       …（3分）
（2）f（x）=…（5分）
①當a≤0時，f（x）=≥4-a≥1，
∴a≤3．又a≤0，
所以，a≤0滿足題意．                                …（7分）
②當a∈（0，2）時，函數f（x）的在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
所以f（x）=≥4-a≥1，
∴a≤3．
又因為a∈（0，2），
所以，a∈（0，2）滿足題意．    （10分）
③當a≥2時，函數f（x）的在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增，
所以f（x）_min=f（a）=≥1，
∴a≤4，
又因為a＞2，
所以a∈[2，4]滿足題意． （13分）
綜上，a的取值范圍是（-∞，4]．…（14分）
點評：本題以函數恒成立為載體考查了絕對值函數問題的解答方法，遇到絕對值問題時，關鍵在于去掉絕對值符號，分類討論是解答時常用的方法．