Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+1，對于任意的實數x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，且f（x+2）為偶函數．
（1）證明：實數a＞0；           
（2）求實數a與b之間的關系；
（3）定義區間[m，n]的長度為n-m，問是否存在常數a，使得函數y=f（x）在區間[a，3]的值域為D，且D的長度為10-a³？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數的性質可得函數是下凹函數，結合二次函數的性質可得a＞0．
（2）由題意可得：函數f（x+2）的對稱軸是y軸，根據y=f（x+2）的圖象沿x軸向右平移兩個單位即可得到函數y=f（x）的圖象，可得二次函數y=f（x）圖象的對稱軸為x=2，進而得到a與b的關系．
（3）當區間[a，3]包含對稱軸時，求函數值域需考慮對稱軸是靠近區間左端點，還是靠近區間右端點，從而確定函數值域．看滿足且D的長度為10-a3的a值是否存在．當區間[a，3]在對稱軸右邊時，函數在區間上是增函數，易求函數值域．再看滿足且D的長度為10-a3的a值是否存在．

解答：解：（1）因為對于任意的實數x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，
所以函數f（x）下凹函數，
所以結合而二次函數的性質可得：實數a＞0．
（2）因為f（x+2）為偶函數，
所以函數f（x+2）的對稱軸是y軸．
又因為y=f（x+2）的圖象沿x軸向右平移兩個單位即可得到函數y=f（x）的圖象，
所以函數y=f（x）圖象的對稱軸為x=2，即函數f（x）關于x=2對稱，
所以由二次函數的性質可得：-

b

2a

=2，即4a+b=0，
所以實數a與b之間的關系為：4a+b=0．
（3）由（2）可得：f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
當0＜a≤1時，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
所以f（x）_max-f（x）_min=a³-4a²+1-（1-4a）=a（a-2）²，
由0＜a≤1時，1≤（a-2）²＜4，則a（a-2）²＜4，而10-a³＞9，不合題意；
當1＜a＜2時，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=1-3a，
所以f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（1-4a）=a，
由1＜a＜2，得10-a³＞2，所以a≠10-a³，不合題意；
當2≤a＜3時，f（x）m_in=a³-4a²+1，f（x）_max=1-3a，
所以f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（a³-4a²+1）=10-a³，
故4a²-3a-10=0，（4a+5）（a-2）=0，
因為2≤a＜3，
所以a=2．
綜上所述：存在常數a=2符合題意．

點評：本題綜合考查函數的奇偶性、單調性、對稱性、值域、抽象函數等知識．注意分類討論的數學思想方法．