Question

已知函數 f(x)=ln(2ax+1)+

x3

3

-x2-2ax（a≥0）．
（1）若x=2為f（x）的極值點，求實數a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上不是單調函數，求實數a的取值范圍；
（3）當a=-

1

2

時，方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

有實根，求實數b的最大值．

Answer 1

（1）由函數 f(x)=ln(2ax+1)+

x3

3

-x2-2ax
得：f′(x)=

2a

2ax+1

+x2-2x-2a
=

2a+2ax3+x2-4ax2-2x-4a2x-2a

2ax+1

=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

．
因為x=2為f（x）的極值點，所以f^′（2）=0．
即

2a

4a+1

-2a=0，解得：a=0．
又當a=0時，f^′（x）=x（x-2），從而x=2為f（x）的極值點成立．
（2）由函數f（x）的定義域可知，必須有2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a≥0，
由于f′(x)=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

，
所以，令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）．
則g（x）＞0與g（x）＜0在區間[3，+∞）上都有解，
由a≥0知，g（x）＞0一定有解，又g（x）的對稱軸為x=1-

1

4a

＜1，
因此只要g（3）＜0即說明g（x）＜0在區間[3，+∞）上都有解，
由g（3）＜0得，4a²-6a-1＞0，解得：a＜

3- 13

4

或a＞

3+ 13

4

．
因為a≥0，所以a＞

3+ 13

4

．
綜上所述，a的取值范圍是（

3+ 13

4

，+∞）．
（3）若a=-

1

2

時，方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

可化為：lnx-(1-x)2+(1-x)=

b

x

．
問題轉化為b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函數g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
因為g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），
則h′(x)=

1

x

+1-2x=

(2x+1)(1-x)

x

，
當0＜x＜1時，h^′（x）＞0，h（x）在（0，1）上為增函數，
當x＞1時，h^′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上為減函數，
因此h（x）≤h（1）=0．
而x＞0，故b=x•h（x）≤0，
因此，當x=1時，b取得最大值0．
所以，當a=-

1

2

時，使方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

有實根的b的最大值為0．