Question

定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．
已知無窮等比數列{a_n}的首項、公比均為

1

2

．
（1）試求無窮等比子數列{a_3k-1}（k∈N^*）各項的和；
（2）是否存在數列{a_n}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為

1

7

？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

Answer 1

（1）依條件得：a3k-1=

1

23k-1

(k∈N*)，
∴無窮等比子數列{a_3k-1}的首項為a₂=

1

22

，公比為

1

23

，
則無窮等比數列{a_3k-1}各項的和為：

a2

1- 1 23

=

1 22

7 8

=

2

7

；
（2）設此子數列的首項為a₁，公比為q，由條件得：0＜q≤

1

2

，
則

1

2

≤1-q＜1，即 1＜

1

1-q

≤2，
∴a1=

1

7

(1-q)∈[

1

14

 ，

1

7

)
而 a1=

1

2m

 (m∈N*)，
則 a1=

1

8

 ，q=

1

8

，
所以，滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，它的首項、公比均為

1

8

，
其通項公式為an=(

1

8

)n，n∈N^*；
（3）問題：是否存在數列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和互為倒數？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由．
假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和之積為1．設這兩個子數列的首項、公比分別為

1

2a

、

1

2m

和

1

2b

、

1

2n

，其中a、b、m、n∈N^*且a≠b或m≠n，則

1 2a

1- 1 2m

•

1 2b

1- 1 2n

=1?

2(m+n)-(a+b)

(2m-1)(2n-1)

=1?2(m+n)-(a+b)=(2m-1)(2n-1)，
因為等式左邊或為偶數，或為一個分數，而等式右邊為兩個奇數的乘積，還是一個奇數．
故等式不可能成立，即假設錯誤，
所以這樣的兩個子數列不存在．