Question

已知x1=

1

3

，xn+1=

x

2 n

+xn-a．（n∈N^*，a為常數）
（1）若a=

1

4

，求證：數列{lg(xn+

1

2

)}是等比數列；
（2）在（1）條件下，求證：xn≤(

5

6

)n-

1

2

，，(n∈N*)；
（3）若a=0，試問代數式

2011

n=1

1

xn+1

的值在哪兩個相鄰的整數之間？并加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用xn+1=

x

2 n

+xn-

1

4

，兩邊同加

1

2

，再取常用對數，即可證得數列{lg(xn+

1

2

)}是以lg

5

6

為首項，以2為公比的等比數列；
（2）確定數列的通項，問題轉化為(

5

6

)n-

1

2

≥xn，只需證2ⁿ≥2n．證法一：當n=1或2時，有2ⁿ=n，當n≥3時，利用二項式定理，進行放縮，即可證得結論；證法二：用數學歸納法證明，關鍵是第二步的證明；
（3）當a=0時，xn+1=

x

2 n

+xn=xn(xn+1)，取倒數可得 

1

xn+1

=

1

xn

-

1

xn+1

，疊加求和，確定3-

1

x2012

的范圍即可．

解答：證明：（1）∵xn+1=

x

2 n

+xn-

1

4

，
∴xn+1+

1

2

=xn2+xn+

1

4

=(xn+

1

2

)2（1分）
∵x1=

1

3

，∴xn+

1

2

＞0，∴lg(xn+1+

1

2

)=2lg(xn+

1

2

)（3分）
∴數列{lg(xn+

1

2

)}是以lg

5

6

為首項，以2為公比的等比數列（4分）
（2）由（1）知lg(xn+

1

2

)=(lg

5

6

)•2n-1，化簡得xn+

1

2

=(

5

6

)2n-1
∵0＜

5

6

＜1，∴要證(

5

6

)n-

1

2

≥xn，只需證2ⁿ≥2n，（6分）
證法一：當n=1或2時，有2ⁿ=n，當n≥3時，2n=(1+1)n=1+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

（7分）≥1+n+

n(n-1)

2

≥1+2n＞2n，（8分）
∴2ⁿ≥2n對n∈N^*都成立，
∴xn≤(

5

6

)n-

1

2

，(n∈N*)（9分）
證法二：用數學歸納法證明，
①當n=1時，結論顯然成立；（5分）
②假設當n=k（k≥1）時結論成立，即2^k≥2k，
當n=k+1時，2^k+1=2•2^k≥2•2k＞2（k+1），（7分）
∴當n=k+1時結論也成立
綜合①、②知xn≤(

5

6

)n-

1

2

，對n∈N^*都成立（9分）
（3）當a=0時，xn+1=

x

2 n

+xn=xn(xn+1)
∴

1

xn+1

=

1

xn(xn+1)

=

1

xn

-

1

xn+1

，即 

1

xn+1

=

1

xn

-

1

xn+1

，
∴

2011

n=1

1

xn+1

=(

1

x1

-

1

x2

)+(

1

x2

-

1

x3

)+…+(

1

x2011

-

1

x2012

)=

1

x1

-

1

x2012

=3-

1

x2012

（11分）
又x1=

1

3

，x2=

1

3

×

4

3

=

4

9

，x3=

4

9

×

13

9

=

52

81

，x4=

52

81

×

133

81

＞1
∵xn+1-xn=xn2≥0，∴{x_n}單調遞增，
∴0＜

1

x2012

＜1，∴2＜3-

1

x2012

＜3
即

2011

n=1

1

xn+1

的值在2與3之間（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查不等式的證明，考查裂項法求和，利用裂項法求和是關鍵．