Question

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時(shí),三角形OAB為直角三角形.

Answer 1

(I) (II)

解析試題分析：（Ⅰ） 
所以橢圓方程為                                             ……4分
（Ⅱ）由已知直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為：
由 ，得，
得：，即                                       ……6分
設(shè)， 
(1)若為直角頂點(diǎn)，則 ，即 ，
，所以上式可整理得，
，解，得，滿足            ……8分
（2）若為直角頂點(diǎn)，不妨設(shè)以為直角頂點(diǎn)，，則滿足：
，解得，代入橢圓方程，整理得，
解得，，滿足   ……10分
時(shí)，三角形為直角三角形.    ……12分
考點(diǎn)：本小題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系.
點(diǎn)評：每年高考都會(huì)考查圓錐曲線問題，此類題目一般運(yùn)算量較大，主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力.