Question

（06年湖南卷）（14分）

如圖4, 已知兩個正四棱錐的高分別為1和2,

(Ⅰ) 證明:  ;     (Ⅱ) 求異面直線所成的角;

(Ⅲ) 求點到平面的距離.

Answer 1

解析：解法一：（Ⅰ）．連結AC、BD，設.由P－ABCD與Q－ABCD

都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.

       

（II）由題設知，ABCD是正方形，所以．由（I），平面，故可以分別以直線CA、DB、QP為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖），

由題設條件，相關各點的坐標分別是，，

所以,,于是

從而異面直線AQ與PB所成的角是.

(Ⅲ)．由（Ⅱ），點D的坐標是（0，－，0），，          

，設是平面QAD的一個法向量，

由    得.

取x=1，得.　　所以點P到平面QAD的距離.

解法二：（Ⅰ）．取AD的中點M，連結PM，QM.因為P－ABCD與Q－ABCD

都是正四棱錐，所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）．連結AC、BD設，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質可知O在

PQ上，從而P、A、Q、C四點共面.

取OC的中點N，連結PN．

因為，所以，

從而AQ∥PＮ.∠BPＮ（或其補角）是異面直線AQ

與PB所成的角.連接BN，

因為．

所以．

從而異面直線AQ與PB所成的角是．

(Ⅲ)．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PＱM，所以平面PＱM⊥平面QAD. 過Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ

于Ｈ，則ＰＨ⊥平面QAD，所以ＰＨ的長為點P到平面QAD的距離．

連結OM，則.所以，

又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是.

即點P到平面QAD的距離是.