Question

（本小題13分）已知數列{a_n}的前n項和S_n = 2a_n – 3×2ⁿ + 4 (n∈N^*)

（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；（2）設T_n為數列{S_n – 4}的前n項和，試比較T_n與14的大小．

Answer 1

(Ⅰ) a_n = (n – )2ⁿ，n∈N^*   (Ⅱ) 當n = 1，2時T_n＜14．當n≥3時， T_n＞14．

解析:

（1）由a₁ = S₁ = 2a₁ – 3×2 + 4得a₁ = 2，……1分

由已知，得S_{n + 1} – S_n = 2 (a_{n + 1} – a_n) – (2^{n + 1} – 2ⁿ)  即a_{n + 1} = 2a_n + 3×2ⁿ 兩邊同除以2^{n + 1}得即 ∴數列{}是以= 1為首項，為公差的等差數列．

∴= 1 + (n – 1) × 即a_n = (n – )2ⁿ，n∈N^*．……6分

（2）∵S_n – 4 = 2a_n – 3×2ⁿ = (3n – 4)·2ⁿ．∴T_n = –1×2 + 2·2² + 5·2³ + …+ (3n – 4)·2ⁿ①2T_n = –1×2² + 2×2³ + … + (3n – 7)·2ⁿ + (3n – 4)·2^{n + 1}     ②

    ① – ②得 –T_n = –2 + 3(2² + 2³ + …+2ⁿ) – (3n – 4)·2^{n + 1}

= –2 + 3× – (3n – 4)·2^{n + 1} = –14 + (14 – 6n)·2ⁿ  ……10分

 ∴T_n = 14 – (14 – 6n)·2ⁿ．∵當n = 1，2時，14 – 6n＞0

 ∴T_n＜14．當n≥3時，14 – 6n＞0  ∴T_n＞14．……13分