Question

去年2月29日，我國發布了新修訂的《環境空氣質量標準》指出空氣質量指數在為優秀，各類人群可正常活動.惠州市環保局對我市2014年進行為期一年的空氣質量監測，得到每天的空氣質量指數，從中隨機抽取50個作為樣本進行分析報告，樣本數據分組區間為，，，，由此得到樣本的空氣質量指數頻率分布直方圖，如圖.
(1) 求的值；
(2) 根據樣本數據，試估計這一年度的空氣質量指數的平均值；（注：設樣本數據第組的頻率為，第組區間的中點值為，則樣本數據的平均值為.）
(3) 如果空氣質量指數不超過，就認定空氣質量為“特優等級”，則從這一年的監測數據中隨機抽取天的數值，其中達到“特優等級”的天數為，求的分布列和數學期望.

Answer 1

（1）0.03；（2）24.6；（3）分布列詳見解析，.

解析試題分析：本題主要考查頻率分布直方圖、由樣本估計總體求平均值、二項分布、離散型隨機變量的分布列和數學期望等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力、轉化能力.第一問，利用頻率分布直方圖中長方形的高=頻率/組距，而所有頻率之和為1，來計算a的值；第二問，根據樣本數據，估計總體的平均值的計算公式為：頻率分布直方圖中，每一個長方形的中點×高×組距，得到的數據之和即為平均值；第三問，利用頻率分布直方圖先得到內的頻率，即“特優等級”的概率值，通過分析題意可知隨機變量服從二項分布，利用計算出每一種情況的概率，再利用計算出數學期望.
試題解析：(1) 由題意，得，                   1分
解得.                                                 2分
（2）個樣本中空氣質量指數的平均值為
               3分
由樣本估計總體，可估計這一年度空氣質量指數的平均值約為.     4分
（3）利用樣本估計總體，該年度空氣質量指數在內為“特優等級”，
且指數達到“特優等級”的概率為，則.            5分
的取值為，                                           6分
，，
，.      10分
∴的分布列為：

  11分
∴.                     12分
（或者）
考點：頻率分布直方圖、由樣本估計總體求平均值、二項分布、離散型隨機變量的分布列和數學期望.