Question

如圖，橢圓(a＞b＞0)的一個焦點為F(1，0)，且過點(2，0)．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x＝4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．

(ⅰ)求證：點M恒在橢圓C上；

(ⅱ)求△AMN面積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)由題設a＝2，c＝1，從而b2＝a2－c2＝3， 　　所以橢圓C前方程為． 　　(Ⅱ)(i)由題意得F(1，0)，N(4，0)． 　　設A(m，n)，則B(m，－n)(n≠0)，＝1．　　① 　　AF與BN的方程分別為：n(x－1)－(m－1)y＝0， 　　n(x－4)－(m－4)y＝0． 設M(x0，y0)，則有 　　由②，③得 　　x0＝． 　　 　　所以點M恒在橢圓G上． 　　(ⅱ)設AM的方程為x＝xy＋1，代入＝1得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0． 　　設A(x1，y1)，M(x2，y2)，則有：y1＋y2＝ 　　|y1－y2|＝ 　　令3t2＋4＝λ(λ≥4)，則 　　|y1－y2|＝ 　　因為λ≥4，0＜ 　　|y1－y2|有最大值3，此時AM過點F． 　　△AMN的面積S△AMN＝ 　　解法二： 　　(Ⅰ)問解法一： 　　(Ⅱ)(ⅰ)由題意得F(1，0)，N(4，0)． 　　設A(m，n)，則B(m，－n)(n≠0)，　　① 　　AF與BN的方程分別為：n(x－1)－(m－1)y＝0，　　② 　　n(x－4)－(m－4)y＝0，　　③ 　　由②，③得：當≠．　　④ 　　由④代入①，得＝1(y≠0)． 　　當x＝時，由②，③得： 　　解得與a≠0矛盾． 　　所以點M的軌跡方程為即點M恒在錐圓C上． 　　(Ⅱ)同解法一． 　　本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、軌跡方程、不等式等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力，滿分14分．