Question

若A₁，A₂，…，A_m為集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N*）的子集，且滿足兩個條件：
①A₁∪A₂∪…∪A_m=A；
②對任意的{x，y}A，至少存在一個i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}；
則稱集合組A₁，A₂，…，A_m具有性質P。
如圖，作n行m列數表，定義數表中的第k行第l列的數為，

（Ⅰ）當n=4時，判斷下列兩個集合組是否具有性質P，如果是請畫出所對應的表格，如果不是請說明理由；
集合組1：A₁={1，3}，A₂={2，3}，A₃={4}；
集合組2：A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}；
（Ⅱ）當n=7時，若集合組A₁，A₂，A₃具有性質P，請先畫出所對應的7行3列的一個數表，再依此表格分別寫出集合A₁，A₂，A₃；
（Ⅲ）當n=100時，集合組A₁，A₂，…，A_t是具有性質P且所含集合個數最小的集合組，求t的值及|A₁|+|A₂|+…+|A_t|的最小值。（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的個數）

Answer 1

解：（Ⅰ）集合組1具有性質P， 所對應的數表為： 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 集合組2不具有性質P，因為存在， 有， 與對任意的，都至少存在一個i∈{1，2，3}，有或{y}矛盾， 所以集合組不具有性質P。 （Ⅱ） 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ； （注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對應的集合組也不同） （Ⅲ）設所對應的數表為數表M， 因為集合組為具有性質P的集合組，所以集合組滿足條件①和②， 由條件①：， 可得對任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有， 所以，即第x行不全為0， 所以由條件①可知數表M中任意一行不全為0； 由條件②知，對任意的，都至少存在一個i∈{1，2，3，…，t}， 使或{y}， 所以一定是一個1一個0，即第x行與第y行的第i列的兩個數一定不同； 所以由條件②可得數表M中任意兩行不完全相同； 因為由0，1所構成的t元有序數組共有2t個，去掉全是0的t元有序數組，共有個， 又因數表M中任意兩行都不完全相同，所以，所以t≥7， 又t=7時，由0，1所構成的7元有序數組共有128個，去掉全是0的數組，共127個， 選擇其中的100個數組構造100行7列數表，則數表對應的集合組滿足條件①②，即具有性質P，所以t=7； 因為等于表格中數字1的個數， 所以，要使取得最小值，只需使表中1的個數盡可能少， 而t=7時，在數表M中， 1的個數為1的行最多7行； 1的個數為2的行最多行； 1的個數為3的行最多行； 1的個數為4的行最多行； 因為上述共有98行，所以還有2行各有5個1， 所以此時表格中最少有個1， 所以的最小值為304。