Question

已知i為虛數單位，復數z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹，則復數z的模為

1

．

Answer 1

分析：根據題意，由等比數列的定義可得i、i²、i³、…、i²⁰¹¹是i為首項，i為公式的等比數列，再由等比數列的前n項和公式可得Z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹=

i(1-i2011)

1-i

，由復數的運算法則可得Z=-1，計算Z的模，即可得答案．

解答：解：根據題意，i、i²、i³、…、i²⁰¹¹是i為首項，i為公式的等比數列，
則Z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹=

i(1-i2011)

1-i

，
又由i^4n-1=-i，
則Z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹=

i(1-i2011)

1-i

=

i(1+i)

1-i

=-1，
則復數z的模為1；
故答案為1．

點評：本題考查復數模的計算，要掌握虛數單位i的性質，即i⁴ⁿ=1，i^4n-1=-i，i^4n-2=-1，i^4n-3=-i．