Question

在數學中“所有”一詞，叫做全稱量詞，用符號“?”表示；“存在”一詞，叫做存在量詞，用符號“?”表示．
設f(x)=

x2-3x+8

2

(x≥2)，g(x)=ax(a＞1，x≥2)．
①?x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，則實數m的取值范圍為

[3，+∞）

；
②若?x₁∈[2，+∞），?x₂∈[2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），則實數a的取值范圍為

(1，

3

]

．

Answer 1

分析：①先對函數配方，求出其對稱軸，判斷出其在給定區間上的單調性進而求出函數值的范圍，即可求出實數m的取值范圍；
②先利用單調性分別求出兩個函數的值域，再比較即可求出實數a的取值范圍．

解答：解：①f（x）=

1

2

（x-

3

2

）²+

23

8

，
∴函數在[2，+∞）上為增函數，∴f（x）≥f（2）=3，
即實數m的取值范圍是[3，+∞）；
②由①知，函數f（x）的值域是[3，+∞），又g（x）的值域是[a²，+∞）
∵?x₁∈[2，+∞），?x₂∈[2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
∴a²≤3
∵a＞1，
∴1＜a≤

3

．
故答案為：①[3，+∞）②(1，

3

]．

點評：本題主要考查函數恒成立問題以及借助于單調性研究函數的值域，是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題目．