Question

在數學中“所有”一詞，叫做全稱量詞，用符號“?”表示；“存在”一詞，叫做存在量詞，用符號“?”表示．設f（x）=

x2-3x+8

2

  (x≥2) ，g(x)=ax (a＞1)．
（1）若?x₀∈[2，+∞）使f（x₀）=m成立，求實數m的取值范圍．
（2）若?x₁∈[2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求得函數在[2，+∞）上為增函數，即可確定實數m的取值范圍；
（2）確定分別函數f（x）、g（x）的值域，根據題意，可得a²＜3，由此可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

(x-

3

2

)2+

23

8

，∴函數在[2，+∞）上為增函數，∴f（x）≥f（2）=3，即實數m的取值范圍是[3，+∞）；
（2）由（1）知，函數f（x）的值域是[3，+∞），又g（x）的值域是（a²，+∞）
∵?x₁∈[2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
∴a²＜3
∵a＞1，
∴1＜a＜

3

．

點評：本題考查函數的單調性，考查函數的值域，考查學生對新定義的理解，屬于中檔題．