Question

已知函數(shù)．（）
（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．

Answer 1

（1）． （2）時，函數(shù)的圖象恒在直線下方．

第一問中，首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)法得到，進而得到范圍；第二問中，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上恒成立． …………3分
即，而當時，，故． …………5分
所以．                …………6分
（2）令，定義域為．
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．   
∵       …………9分
① 若，令，得極值點，，
當，即時，在（，+∞)上有，此時在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；
當，即時，同理可知，在區(qū)間上遞增，
有，也不合題意；                    …………11分
② 若，則有，此時在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，
由此求得的范圍是．       …………13分
綜合①②可知，當時，函數(shù)的圖象恒在直線下方．