Question

已知定義域為R的函數f(x)=是奇函數.

(1)求a,b的值.

(2)用定義證明f(x)在(-∞,+∞)上為減函數.

(3)若對于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的范圍.

 

Answer 1

(1) a=1,b=1 (2)見解析 (3) k<-

【解析】(1)∵f(x)為R上的奇函數,∴f(0)=0,b=1.

又f(-1)=-f(1),得a=1.

經檢驗a=1,b=1符合題意.

(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,

則f(x1)-f(x2)=-

=

=.

∵x1<x2,∴->0,

又∵(+1)(+1)>0,

∴f(x1)-f(x2)>0,

∴f(x)在(-∞,+∞)上為減函數.

(3)∵t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,

∴f(t2-2t)<-f(2t2-k).

∵f(x)為奇函數,∴f(t2-2t)<f(k-2t2),

∵f(x)為減函數,∴t2-2t>k-2t2,

即k<3t2-2t恒成立,而3t2-2t=3(t-)2-≥-,∴k<-.