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已知圓N:（x+2）2+y2=8和拋物線C: y2= 2x，圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點A，B.

（I）當直線l的斜率為1時，求線段AB的長；

（II）設點M和點N關于直線y=x對稱，問是否存在直線l，使得?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

 

【答案】

 （1） .（2）.

【解析】(I)直線l的方程為y=x+m,根據直線l與圓相切，求出m值，然后再與拋物線方程聯立，根據弦長公式求出AB的值。

（II）由于點M與點N關于直線y=x對稱，從而可求出M的坐標，然后利用,把此條件用坐標表示出來，借助韋達定理建立關于k的方程，求出k值，再驗證是否滿足判別式大于零

因為圓N：，所以圓心N為（-2,0），半徑，

………1分

設，，

  （1）當直線的斜率為1時，設的方程為即，因為直線是圓N的切線，所以，解得或（舍去）

         此時直線的方程為， ………………3分

由 消去得，所以，，，

所以弦長 .……………………6分

（2）①設直線的方程為即（），

          因為直線是圓N的切線，所以，

得  ①………………8分

由 消去得 ，

所以即且， ，.

因為點M和點N關于直線對稱，所以點M為

所以，，

因為，所以+ ，……9分

將A，B在直線上代入化簡得，

.

代入，得  

化簡得      ………②

①+②得

即，解得或 

       當時，代入①解得，滿足條件且，

             此時直線的方程為；

       當時，代入①整理得 ，無解.………………11分

②                當直線的斜率不存在時，因為直線是圓N的切線，所以的方程為，則得，，

即

       由①得：

       =

  當直線的斜率不存在時不成立.

綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M：(x+
5
)2+y2=36，定點N(
5
，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0．
（I）求點G的軌跡C的方程；
（II）過點（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設
OS
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓A：(x+2)2+y2=
25
4
，圓B：(x-2)2+y2=
1
4
，動圓P與圓A、圓B均外切，直線l的方程為x=a（a≤
1
2
）．
（Ⅰ） 求動圓P的圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點B的直線與曲線C交于M、N兩點，（1）求|MN|的最小值；（2）若MN的中點R在l上的射影Q滿足MQ⊥NQ，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M：(x+)2+y2=36，定點N(，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足=2，=0．

(1)求點C的軌跡C的方程；

(2)過點(2，0)作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在，求出直線J的方程；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M：(x+)2+y2=36,定點N(，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足=0.

(1)(理22(1)文21(1))求點G的軌跡C的方程；

(2)(理22(2))過點(2，0)作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)？若存在，求出直線l的方程，若不存在，試說明理由.

(文21(2))直線l的方程為l:3x-2y-6=0，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，且，求證：四邊形OASB為矩形.

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