Question

在等差數列中，，，記數列的前項和為．

（1）求數列的通項公式；

（2）是否存在正整數、，且，使得、、成等比數列？若存在，求出所有符合條件的、的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，且，.

【解析】

試題分析：（1）將等差數列中的相應式子轉化為首項和公差的二元一次方程組，求出首項和公差，最后再利用等差數列的通項公式即可求出等差數列的通項公式；（2）先將數列的通項公式結構選擇裂項求和法求數列的前項和，然后根據條件列式，利用正整數的一些相關性質列不等式求出、的值.

試題解析：（1）設等差數列的公差為，

因為即                           2分

解得                                     3分

所以．

所以數列的通項公式為．                    4分

（2）因為，                  5分

所以數列的前項和

．                             7分

假設存在正整數、，且，使得、、成等比數列，

則．                                   8分

即．                              9分

所以．

因為，所以．

即．

因為，所以．

因為，所以．                             12分

此時．                            13分

所以存在滿足題意的正整數、，且只有一組解，即，．          14分

考點：等差數列的通項公式，裂項求和法，數列的存在性問題.