Question

已知雙曲線，橢圓C與雙曲線有相同的焦點，兩條曲線的離心率互為倒數．
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓C經過點M，點M的橫坐標為2，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m，l交橢圓于A、B兩個不同點，求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的標準方程，依據條件，待定系數法求出待定系數，進而得到橢圓的標準方程．
（2）用點斜式設出直線l的方程，代入橢圓方程，利用判別式大于0，求出m的取值范圍．
（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只要證明k₁+k₂=0即可．設出A、B兩個點的坐標，并用此坐標表示k₁，k₂，把（2）中根與系數的關系代入k₁+k₂化簡可得結論．
解答：解（1）設橢圓方程為，∵焦點坐標（±，0），離心率是，
a²=8，b²=a²-c²=2，
所以橢圓方程
（2）因為直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m
又，所以l的方程為：，
由，
因為直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，（8分）
所以m的取值范圍是{m|-2＜m＜2，m≠0}．（9分）
（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只要證明k₁+k₂=0即可．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則
由x²+2mx+2m²-4=0
可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4（10分）
而（11分）
=（12分）
==∴k₁+k₂=0，
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程、直線與圓的位置關系的綜合應用．