Question

（本題16分）已知函數，其中e是自然數的底數，，
（1）當時，解不等式；
（2）若當時，不等式恒成立，求a的取值范圍；
（3）當時，試判斷：是否存在整數k，使得方程在
上有解？若存在，請寫出所有可能的k的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在唯一的整數。

因為所以，取根的中間；
即不等式恒成立，分類討論：
且時，
數形結合：
如圖：
若，
，
若，如圖：

（4）方程在
上有解，需判斷函數在上的單調性，數形結合。
（1） 即，由于，所以
所以解集為；
（2）當時，即不等式恒成立，
①若，則，該不等式滿足在時恒成立；
②由于，
所以有兩個零點，
若，則需滿足   即，此時無解；
③若，則需滿足，即，所以，
綜上所述，a的取值范圍是。
（3）方程即為，設，
由于和均為增函數，則也是增函數，
又因為，，
所以該函數的零點在區間上，又由于函數為增函數，所以該函數有且僅有
一個零點，所以方程有且僅有一個根，且在內，所以存在唯
一的整數。